Question

双曲线的中心是原点O，它的虚轴长为2，相应的焦点F（c，0）（c＞0）的准线l与x轴交于点A，且|OF|=3|OA|.过点F的直线与双曲线交于P、Q两点.

（1）求双曲线的方程及离心率；

（2）若=0，求直线PQ的方程.

Answer 1

解析：（1）由题意，设曲线的方程为=1(a＞0,b＞0)

由已知解得a=,c=3,

所以双曲线的方程为=1离心率e=3;

（2）由（1）知A（1，0），F（3，0），当直线PQ与x轴垂直时，PQ方程为x=3.此时，≠0，应舍去.当直线PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y=k(x-3).

由方程组得（k²-2）x²-6k²x+9k²+6=0

由于过点F的直线与双曲线交于P、Q两点，

则k²-2≠0，即k≠±，由于

Δ=36k⁴-4(k²-2)(9k²+6)=48(k²+1)＞0

∴k∈R且k≠±.（*）

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

由直线PQ的方程得y₁=k(x₁-3)，y₂=k(x₂-3),

于是y₁y₂=k²(x₁-3)(x₂-3)=k²［x₁x₂-3(x₁+x₂)+9］.                     ③

∵=0，

∴（x₁-1,y₁）·（x₁-1，y₂）=0,

即x₁x₂-(x₁+x₂)+1+y₁y₂=0.                                                       ④

由①②③④得

+1+k²(-3+9)=0

整理得k²=，∴k=±满足（*）.

∴直线PQ的方程为x-y-3=0或x+y-3=0.