Question

设x1，x2(x1＜x2)是函数f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2-(2b2+1)ax，(a＞0)的两个极值点．
（1）若x₁=-2，x₂=1，求a，b的值；
（2）若x₁≤x≤x₂，且x₂=a，不等式6f（x）+11a²≥0恒成立，求实数b的取值范围；
（3）若x₁²+x₂²=6+4b²，且b＞0，设an=

4a

f′(n)+2a(b2+1)

，T_n为数列a_n的前n项和，求证：T_n＜4．

Answer 1

分析：（1）先求出其导函数f'（x）=ax²+bx-（2b²+1）a，利用条件把x₁=-2，x₂=1转化为方程ax²+bx-（2b²+1）a=0的两根，再利用根与系数的关系即可求a，b的值；
（2）先利用其导函数f'（x）=ax²+bx-（2b²+1）a以及a＞0得f（x）在（x₁，x₂）上单调递减，故有x₁≤x≤x₂时，f（x）≥f（x₂）=f（a）；不等式6f（x）+11a²≥0恒成立?6f（a）+11a²≥0①，再利用f'（a）=a³+ba-（2b²+1）a=0即a²=2b²-b+1②，①②相结合即可求实数b的取值范围；
（3）先利用x₁，x₂是方程ax²+bx-（2b²+1）a=0的两根以及x₁²+x₂²=6+4b²得b²=4a²，进而得b=2a，代入得an=

4a

f′(n)+2a(b2+1)

=

4a

an2+2an-(8a3+a)+8a3+2a

=

4

n2+2n+1

=

4

(n+1)2

＜

4

n(n+1)

=4(

1

n

-

1

n+1

)即可证明结论．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2-(2b2+1)ax，(a＞0)
∴f'（x）=ax²+bx-（2b²+1）a（2分）
依题意x₁=-2，x₂=1是方程ax²+bx-（2b²+1）a=0的两根
则-

b

a

=-1，-

(2b2+1)a

a

=-2
解之可得：a=b=

2

2

（4分）
（2）由（1）f'（x）=ax²+bx-（2b²+1）a＞0得x＞x₁或x＜x₂
∴f（x）在（x₁，x₂）上单调递减
∴x₁≤x≤x₂时，f（x）≥f（x₂）=f（a）（5分）
由题f'（a）=a³+ba-（2b²+1）a=0即a²=2b²-b+1（6分）
若x₁≤x≤x₂，且x₂=a，不等式6f（x）+11a²≥0恒成立?6f（a）+11a²≥0（7分）
?2a⁴+3ba²-6（2b²+1）a²+11a²≥0?2a²+3b-12b²+5≥0?2（2b²-b+1）+3b-12b²+5≥0?8b²-b-7≤0?-

7

8

≤b≤1
故实数b的取值范围为[-

7

8

，1]（9分）
（3）依题意x₁，x₂是方程ax²+bx-（2b²+1）a=0的两根，则x1+x2=-

b

a

，x1x2=-

(2b2+1)a

a

而x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
∴(-

b

a

)2+2

(2b2+1)a

a

=6+4b2∴b²=4a²（10分）
又a＞0，b＞0，
∴b=2a而f'（n）=an²+bn-（2b²+1）a=an²+2an-（8a³+a）
∴an=

4a

f′(n)+2a(b2+1)

=

4a

an2+2an-(8a3+a)+8a3+2a

=

4

n2+2n+1

（11分）

Tn= 4 22 + 4 32 + 4 42 ++ 4 (n-1)2 + 4 n2 + 4 (n+1)2 ＜4[ 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 ++ 1 (n-2)(n-1) + 1 (n-1)n + 1 n(n+1) ] =4[(1- 1 2 )+( 1 2 - 1 3 )+( 1 3 - 1 4 )++( 1 n-2 - 1 n-1 )+( 1 n-1 - 1 n )+( 1 n - 1 n+1 )] =4(1- 1 n+1 )＜4(14分)

点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值以及导数在最大值、最小值问题中的应用和数列的求和问题，是对知识的综合考查，属于难题．