Question

【题目】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，且椭圆C经过点P.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)设过点A(0，2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且＝＋，求点Q的轨迹方程．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

解：(1)由椭圆定义知，

2a＝|PF1|＋|PF2|

＝

＋＝2，

所以a＝.

又由已知，得c ＝1，

所以椭圆C的离心率e＝＝＝.

(2)由(1)知，椭圆C的方程为＋y2＝1.

设点Q的坐标为(x，y)．

①当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0，1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为.

②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2.

因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，则|AM|2＝(1＋k2)x，|AN|2＝(1＋k2)x.

又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.

由＝＋，得

＝＋，

即＝＋＝.①

将y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得

(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②

由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6>0，

得k2>.

由②可知，x1＋x2＝，x1x2＝，

代入①中并化简，得x2＝.③

因为点Q在直线y＝kx＋2上，所以k＝，代入③中并化简，

得10(y－2)2－3x2＝18.

由③及k2>，可知0<x2<，

即x∈∪.

又点满足10(y－2)2－3x2＝18，故x∈.

由题意知Q(x，y)在椭圆C内，

所以－1≤y≤1.

又由10(y－2)2＝18＋3x2有

(y－2)2∈，且－1≤y≤1，

则y∈.

所以点Q的轨迹方程为10(y－2)2－3x2＝18，

其中x∈，y∈.