Question

已知C为圆(x+

2

)2+y2=12的圆心，点A(

2

，0)，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且

MQ

•

AP

=0，

AP

=2

AM

．
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．
（2）一直线l，原点到l的距离为

3

2

．（i）求证直线l与曲线E必有两个交点．
（ii）若直线l与曲线E的两个交点分别为G、H，求△OGH的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题设知，MQ⊥AP，QM是P的中垂线，|

QC

|+|

QA

|=|

QC

|+|

OP

|=|

CP

|=r=2

3

又|

AC

|=2

2

＜2

3

，
根据椭圆的定义，点Q轨迹是以C（-

2

，0），A（

2

，0）为焦点，长轴长为2

3

的椭圆，由此可知点Q的轨迹方程．
（2）（i）当直线l垂直x轴时，由题意知：l：x=±

3

2

，取x=

3

2

代入曲线E的方程得：y=±

3

2

，即G（

3

2

，

3

2

），H（

3

2

，-

3

2

）有两个不同的交点，当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为：y=kx+b，由此入手可知直线l必与椭圆E交于两点
（ii）当直线l垂直x轴时，CH=

3

S

△OGH

=

1

2

|GH|×

3

2

=

1

2

×

3

×

3

2

=

3

4

，当直线l不垂直x轴时，设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），再由根与系数的关系结合题设条件可求出△OGH的面积的最小值．

解答：解：（Ⅰ）圆(x+

2

)2+y2=12的圆心为C(-

2

，0)，半径r=2

3

∵

MQ

•

AP

=0，

AP

=2

AM

，
∴MQ⊥AP，点M是AP的中点，即QM是P的中垂线，连接AQ，则|AQ|=|QP|
∴|

QC

|+|

QA

|=|

QC

|+|

OP

|=|

CP

|=r=2

3

又|

AC

|=2

2

＜2

3

，
根据椭圆的定义，点Q轨迹是以C（-

2

，0），A（

2

，0）为焦点，长轴长为2

3

的椭圆，
由c=

2

，a=

3

，得b2=1，因此点Q的轨迹方程为

x2

3

+y2=1．

（Ⅱ）（1）证明：当直线l垂直x轴时，由题意知：l：x=±

3

2

，
不妨取x=

3

2

代入曲线E的方程得：y=±

3

2

即G（

3

2

，

3

2

），H（

3

2

，-

3

2

）有两个不同的交点，
当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为：y=kx+b
由题意知：

|b|

1+k2

=

3

2

，即b2=

3

4

(1+k2)
由

y=kx+b x3 3 +y2=1

消y得：(2+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0
∵△=36k²b²-4（1+3k²）（3b²-3）=12（3k²-b²+1）=27k²+3＞0
∴直线l与椭圆E交于两点，综上，直线l必与椭圆E交于两点

（2）由（1）知当直线l垂直x轴时，CH=

3

S

△OGH

=

1

2

|GH|×

3

2

=

1

2

×

3

×

3

2

=

3

4

当直线l不垂直x轴时，设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
由（1）知x1+x2=

-6kb

1+3k2

，x1x2=

3b2-3

1+3k2

|GH|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 36k2b2 (1+3k2)2 - 4(3b2-3) 1+3k2 ]

=

27k4+30k2+3 (1+3k2)2

=

3+ 12k2 9k2+6k2+1

=

3+ 12 9k2+ 1 k2 +6

≤

3+ 12 2×3+6

=2(k≠0)

当且仅当9k2=

1

k2

，即k=±

3

3

，则取得“=”，
∴S△OGH=

1

2

×

3

2

|GH|≤

1

2

×

3

2

×2=

3

2

当k=0时，|GH|=

3

，S△OGH=

3

4

．
综上，△OGH的面积的最小值为

3

2

．

点评：本题考查函数的直线与圆锥问题的综合问题，解题时要认真审题，仔细解答．