Question

【题目】已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ， 由椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成一个等边三角形．它的面积为4 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动点B（m，n）（mn≠0）在椭圆上，点A（0，2 ），直线AB交x轴于点D，点B′为点B关于x轴的对称点，直线AB′交x轴于点E，若在y轴上存在点G（0，t），使得∠OGD=∠OEG，求点G的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得 ，

∴ ，∴椭圆C的方程： ．

（2）解：设D（x1，0），E（x2，0）．

由A，D，B，三点共线．得 ，即x1= ．

同理可得x2= ．

又∵∠OGD=∠OEG，∴ ．

∵﹣2 ，且n≠0，∴ ，

由于 ，∴ ，

∴t=±4，点G的坐标为（0，±4）．

【解析】（1）利用椭圆的短轴的一个端点和两个焦点构成等边三角形的三个顶点，它的面积为4 ．建立方程关系，求出a，b，即可得椭圆方程．（2）设D（x1 ， 0），E（x2 ， 0）．由A，D，B，三点共线．得x1= ．同理可得x2= ．又∠OGD=∠OEG，得 ．由于 ，故 ．
【考点精析】利用椭圆的标准方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．