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精英家教网如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,侧棱长为2,底面△ABC中,∠B=90°,AB=1,BC=
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,D是侧棱CC1上一点,且BD与底面所成角为30°.
(1)求点D到AB所在直线的距离.
(2)求二面角A1-BD-B1的度数.
分析:(1)根据线面垂直的性质可知AB⊥BD即BD为点D到AB所在直线的距离,再根据线面所成角的定义可知∠DBC即为BD与底面所成角,可求出BD,即可求得所求;
(2)过B1作BD的垂线角BD与E,连接A1E,B1E,根据二面角平面角的定义可知∠A1EB1为二面角A1-BD-B1的平面角,在直角三角形A1B1E中,求出此角即可.
解答:精英家教网解:(1)∵BD在底面的射影为BC
∴∠DBC即为BD与底面所成角则∠DBC=30°
∵∠B=90°,直三棱柱ABC-A1B1C1
∴AB⊥侧面BC1,而BD?侧面BC1
∴AB⊥BD即BD为点D到AB所在直线的距离
在直角三角形BDC中,BD=2
∴点D到AB所在直线的距离为2
(2)过B1作BD的垂线角BD与E,连接A1E,B1E
∵A1B1⊥侧面BC1
∴∠A1EB1为二面角A1-BD-B1的平面角
在直角三角形A1B1E中,A1B1=1,B1E=
3

∴tan∠A1EB1=
3
3

∴∠A1EB1=30°
即二面角A1-BD-B1的度数为30°
点评:本题主要考查了点到平面的距离,以及二面角的度量等有关知识,同时考查了空间想象能力、推理论证的能力,和转化与划归的思想,属于中档题.
练习册系列答案
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精英家教网如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,∠ACB=90°,AC=BC=2,AA1=4.E、F分别是棱CC1、AB中点.
(Ⅰ)求证:CF⊥BB1
(Ⅱ)求四棱锥A-ECBB1的体积;
(Ⅲ)判断直线CF和平面AEB1的位置关系,并加以证明.

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精英家教网如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,∠ACB=90°,E是棱CC1上动点,F是AB中点,AC=BC=2,AA1=4.
(1)求证:CF⊥平面ABB1
(2)当E是棱CC1中点时,求证:CF∥平面AEB1
(3)在棱CC1上是否存在点E,使得二面角A-EB1-B的大小是45°,若存在,求CE
的长,若不存在,请说明理由.

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如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,∠ACB=90°,AC=BC=2,AA1=4,E、F分别是棱CC1、AB中点.
(1)判断直线CF和平面AEB1的位置关系,并加以证明;
(2)求四棱锥A-ECBB1的体积.

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(Ⅱ)若E为AB上一点,试确定点E在AB上的位置,使得A1E⊥C1D;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求点D到平面B1C1E的距离.

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(2010•莒县模拟)如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,∠ACB=90°,AC=BC=2,AA1=4.E、F分别是棱CCl、AB中点.
(I)求证:CF⊥BB1
(Ⅱ)求四棱锥A-ECBB1的体积;
(Ⅲ)证明:直线CF∥平面AEBl

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