Question

已知在直角坐标平面xOy中，有一个不在y轴上的动点P（x，y），到定点F（0，

1

4

）的距离比它到x轴的距离多

1

4

，记P点的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II）已知点M在y轴上，且过点F的直线l与曲线C交于A、B两点，若△MAB为正三角形，求M点的坐标与直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知，P的轨迹满足抛物线的定义，故可求出抛物线的焦点，继而求出抛物线方程．
（Ⅱ）先确定直线l的方程，求出|AB|，|MF|，根据F（0，

1

4

）即可确定M的坐标．

解答：解：（Ⅰ）依题意知，动点P到定点F（0，

1

4

）的距离比它到x轴的距离多

1

4

，
∴曲线C是以原点为顶点，F（0，

1

4

）为焦点的抛物线（除去顶点）
∴

p

2

=

1

4

∴2p=1
∴曲线C方程是x²=y（y≠0）；
（Ⅱ）∵点M在y轴上，且过点F的直线l与曲线C交于A、B两点，△MAB为正三角形，
∴直线l的方程为l：y=

1

4

当y=

1

4

时，x=±

1

2

，∴|AB|=1
∴|MF|=

3

2

∵F（0，

1

4

）
∴M(0，

1

4

+

3

2

)或M(0，

1

4

-

3

2

)．

点评：本题考查抛物线的定义与标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，正确求解抛物线方程是关键．