Question

若过点（2，0）的直线与曲线y=x³和y=ax²+7x-4都相切，则a的值为（　　）

• A．2
• B．

  5

  16

• C．2或-

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  16

• D．3或

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Answer 1

分析：设出所求切线方程的切点坐标和斜率，把切点坐标代入曲线方程得到一个等式，根据切点坐标和斜率写出切线的方程，把切点坐标代入又得到一个等式，联立方程组即可求出切点的横坐标，进而得到切线的斜率，根据已知点的坐标和求出的斜率写出切线方程，再根据与y=ax²+7x-4也相切，联立方程组，△=0可求出所求．

解答：解：设直线与曲线y=x³的切点坐标为（x₀，y₀），
则

y0=x03  y0 x0-2 =3x02

，解得x₀=0或x₀=3
则切线的斜率k=0或k=27，
①若k=0，此时切线的方程为y=0，
由

y=0  y=ax2+7x-4

，
消去y，可得ax²+7x-4=0，
其中△=0，即（7）²+16a=0，
解可得a=-

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；
②若k=27，其切线方程为y=27（x-2），
由

y=27(x-2)  y=ax2+7x-4

，
消去y可得ax²-20x+50=0，
又由△=0，即（20）²-4×50×a=0，
解可得a=2．
故a=-

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或2．
故答案为 C

点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是一道综合题．