Question

已知三个函数y=|x|+1,y=,y=(x+)(x＞0),它们各自的最小值恰好是方程x³+ax²+bx+c=0的三个根,其中t为常数,且0＜t＜1.

(1)求证:a²=2b+3.

(2)设(x₁,M),(x₂,N)是函数f(x)=x³+ax²+bx+c的两个极值点.

①若|x₁-x₂|=,求函数f(x)的解析式;

②求|M-N|的取值范围.

Answer 1

(1)证明:三个函数的最小值依次为1,,,                  

由f(1)=0,得c=-a-b-1.

∴f(x)=x³+ax²+bx+c=x³+ax²+bx-(a+b+1)

=(x-1)［x²+(a+1)x+(a+b+1)］.

故方程x²+(a+1)x+(a+b+1)=0的两根是,.

故+=-(a+1),·=a+b+1.                     

(+)²=(a+1)²,

即2+2(a+b+1)=(a+1)²,∴a²=2b+3.                                    

(2)解:①依题意x₁、x₂是方程f′(x)=3x²+2ax+b=0的根,

故有x₁+x₂=-,x₁x₂=,

且Δ=(2a)²-12b＞0,得b＜3.

由|x₁-x₂|===.              

=,得b=2,a²=2b+3=7.

由(1)知+=-(a+1)＞0,故a＜-1.

∴a=-,c=-(a+b+1)=-3.

∴f(x)=x³-x²+2x+-3.                                      

②|M-N|=|f(x₁)-f(x₂)|

=|(x₁³-x₂³)+a(x₁²-x₂²)+b(x₁-x₂)|

=|x₁-x₂|·|(x₁+x₂)²-x₁x₂+a(x₁+x₂)+b|

=|(-)²-+a·(-)+b|

=〔或〕.                             

由(1)(a+1)²=(+)²=2+2,

∵0＜t＜1,∴2＜(a+1)²＜4.又a＜-1,∴-2＜a+1＜-,

-3＜a＜--1,3+2＜a²＜9(或＜b＜3).                          

∴0＜|M-N|＜.