Question

【题目】某市在创建全国旅游城市的活动中,对一块以O为圆心,R(R为常数,单位:米)为半径的半圆形荒地进行治理改造,其中弓形BCD区域(阴影部分)种植草坪,△OBD区域用于儿童乐园出租,其余区域用于种植观赏植物.已知种植草坪和观赏植物的成本分别是每平方米5元和55元,儿童乐园出租的利润是每平方米95元.

(1)设∠BOD=θ(单位:弧度),用θ表示弓形BCD的面积S弓=f(θ).

(2)如果该市规划办邀请你规划这块土地,如何设计∠BOD的大小才能使总利润最大?并求出最大值.

Answer 1

【答案】（1）S弓=f(θ)= R2(θ-sin θ),θ∈(0,π).（2）见解析

【解析】

（1）由S弓=S扇﹣S△，利用扇形及三角形面积公式即得；

（2）由题意列出函数关系式，利用导数判断函数单调性求得最大值即可．

解: （1）S扇=R2θ，S△OBD=R2sinθ，

S弓=f（θ）=R2（θ﹣sinθ），θ∈（0，π）

（2）设总利润为y元，儿童乐园利润为y1元，种植草坪成本为y2元，种植观赏植物成本为y3元；

则y1=R2sinθ95，y2=R2（θ﹣sinθ）5，y3=R2（π﹣θ）55，

∴y=y1﹣y2﹣y3=R2（100sinθ+50θ﹣55π），

设g（θ）=100sinθ+50θ﹣55π，θ∈（0，π）．

∴g′（θ）=100cosθ+50

∴g′（θ）>0，cosθ＞﹣，g（θ）在θ∈（0，）上为增函数；

g′（θ）<0，cosθ＜﹣，g（θ）在θ∈（，π）上为减函数；

当θ=时，g（θ）取到最大值，此时总利润最大，

此时总利润最大：y=R2（100sinθ+50θ﹣55π）=R2（50﹣π）．

答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值R2（50﹣π）