Question

平面直角坐标系中，已知点P₀（1，0），P₁（2，1）且

PnPn+1

=

1

3

Pn-1Pn

（n∈N^*）．当n→+∞时，点P_n无限趋近于点M，则点M的坐标为

 

．

Answer 1

分析：由题设条件知

PnPn+1

=-

1

2

Pn-1Pn

=(-

1

2

)n（1，1）．再由

lim

n→∞

(-

1

2

)n（1，1）=（1，1）能得到M点的坐标．

解答：解：∵

PnPn+1

 =

1

3

Pn-1Pn

，
=(

1

3

)n

P0P1

=(

1

3

)n(

OP1

-

OP0

)=(

1

3

)n（1，1）．
∴P₂（2+

1

3

，1+

1

3

），P₃（2+

1

3

+(

1

3

)2，1+

1

3

+(

1

3

)2），…，P_n（2+

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n-1，1+

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n-1）
∴P_n（2+

1 3 [1- ( 1 3 )n-1]

1- 1 3

，

1-( 1 3 )n

1- 1 3

），
∵点P_n无限趋近于点M，∴点M的坐标为（

5

2

，

3

2

）
故答案为（

5

2

，

3

2

）．

点评：本题考查数列的极限和应用，解题时要注意向量的坐标运算．同时考查了运算能力和分析归纳推理能力，属中档题题．