Question

（本小题满分分）

若函数在定义域内某区间上是增函数，而在上是减函数，

则称在上是“弱增函数”

（1）请分别判断=，在是否是“弱增函数”，

并简要说明理由;

（2）证明函数(是常数且)在上是“弱增函数”．

 

Answer 1

【答案】

（1）=在上是“弱增函数”； 在上不是“弱增函数”（2）易证在上是增函数，再利用定义证明在上是减函数

【解析】

试题分析：（1）=在上是“弱增函数”；

在上不是“弱增函数”；                           ……2分

理由如下：

显然，=在上是增函数，在上是减函数，

∴=在上是“弱增函数”。                             ……4分

∵是开口向上的抛物线，对称轴方程为，

∴在上是增函数，

而在上是增函数，

∴在上不是“弱增函数”。                        ……6分

（2）证明：∵函数是开口向上的抛物线，对称轴方程为，

∴函数(是常数且)在上是增函数；        ……8分

令，则，

对任意，得，，                      ……9分

∵

，                       ……12分

∴，从而在上是减函数，                ……13分

∴函数(是常数且)在上是“弱增函数”.  ……14分

考点：本小题主要考查新定义下函数的单调性的研究和证明，考查学生的推理能力和论证能力.

点评：判断函数的单调性一是可以借助初等函数的单调性，再就是利用函数的单调性的定义来证明，利用定义证明函数的单调性时，要化到最简.