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    【题目】如图所示，四棱锥中，侧面底面，底面是平行四边形，，，，是中点，点在线段上.

    （Ⅰ）证明：；

    （Ⅱ）若 ，求实数使直线与平面所成角和直线与平面所成角相等.

    【答案】(Ⅰ) 见解析；(Ⅱ)

    【解析】

    (Ⅰ)由线面垂直的判定定理，先证明平面，进而可得；

    （Ⅱ）先结合(Ⅰ)证明底面，以为原点，延长线、、分别为、、轴建系，用表示出直线的方向向量与平面的法向量的夹角余弦值，以及直线的方向向量与平面的法向量的夹角余弦值，根据两角相等，即可得出结果.

    (Ⅰ)解：中，∴∴；

    连，中

    ∴∴，∴

    又∴平面∴

    (Ⅱ)由（1）：，又侧面底面于，∴底面，∴以为原点，延长线、、分别为、、轴建系；

    ∴，，,，，

    ∴，，，

    设，（），则

    ，

    设平面的一个法向量，则，可得

    又平面的一个法向量

    由题：，即

    解得：

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    （Ⅰ）求这100位作者年龄的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

    （Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，作者年龄X服从正态分布，其中近似为样本平

    均数，近似为样本方差．

    （i）利用该正态分布，求；

    （ii）央视媒体平台从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“纪念改革开放40年图片展”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是Y，求变量Y的分布列和数学期望．附：，若，则，

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    【题目】如图，在四棱锥中，且和分别是棱和的中点.

    （Ⅰ）求证：；

    （Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值.

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    【题目】高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力．某移动支付公司从某市移动支付用户中随机抽取100人进行调查，得到如下数据：

    每周移动支付次数

    1次

    2次

    3次

    4次

    5次

    6次及以上

    男

    10

    8

    7

    3

    2

    15

    女

    5

    4

    6

    4

    6

    30

    总计

    15

    12

    13

    7

    8

    45

    （1）把每周使用移动支付6次及以上的用户称为“移动支付达人”，按分层抽样的方法，从参与调查的“移动支付达人”中，随机抽取6人，求抽取的6人中，男、女用户各多少人；

    （2）把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，根据表格中的数据完成下列列联表，问：能否有的把握认为“移动支付活跃用户”与性别有关？

    非移动支付活跃用户

    移动支付活跃用户

    总计

    男

    女

    总计

    附参照表：

    0.10

    0.05

    0.025

    0.01

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    参考公式：，其中

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    （1）若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；

    （2）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；

    （3）若规定分数在为“良好”,为“优秀”.用频率估计概率,从该校高三年级随机抽取三人,记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X,求X的分布列和数学期望.

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    （1）求甲、乙两人共答对个问题的概率；

    （2）试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由；

    （3）求乙答对题目数的分布列和期望.

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