Question

【题目】已知（），，其中为自然对数的底数.

（1）若恒成立，求实数的取值范围；

（2）若在（1）的条件下，当取最大值时，求证： .

Answer 1

【答案】（1）; （2）见解析.

【解析】试题分析：（1）恒成立问题的两种处理方法：法一：分类讨论：求导利用函数的单调性求解即可；法二：分离参数． 恒成立在上恒成立，令求函数最值即可.

（2）要证 ，先证明： 时， ，只需要证明. 令求导利用单调性即可证得.

试题解析：

（1）解：法一：分类讨论．因为，

①当时， 所以，

故在上单调递增，

所以，所以

②当时，令，

若， ；若， ，

所以在上单减，在上单增；

所以，

解得，此时无解，

综上可得．

法二：分离参数． 恒成立在上恒成立．

令，则

所以在上单增，

故，所以

（2）证明：由题意可知， ．

要证 （*）

先证明： 时， ．

令．

当时， ，所以在上单减，

所以，所以．

所以要证明（*）式成立，只需要证明（**） ……（8分）

令，则，

，令

又在上单调递增，则在上， ，

在， ．

所以， 在上单减，在上单增，

所以，

所以在上单调递增，所以．

所以（**）成立，也即是（＊）式成立．故