Question

【题目】如图，在三棱锥S-ABC中，SA ⊥底面ABC，AC=AB=SA=2，AC ⊥AB，D，E分别是AC，BC的中点，F在SE上，且SF=2FE.

（Ⅰ）求异面直线AF与DE所成角的余弦值；

（Ⅱ）求证：AF⊥平面SBC；

（Ⅲ）设G为线段DE的中点，求直线AG与平面SBC所成角的余弦值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）由题意可知DE∥AB，故∠FAB或其补角为异面直线AF与DE所成角；

（Ⅱ）由（I）知AF⊥SE，易证BC⊥AF，从而AF⊥平面SBC；

（Ⅲ）延长AG交BC于P点，连结PF. 由（II）知AF⊥平面SBC，所以PF为AP在平面SBC上的投影，故∠APF即为直线AG与平面SBC所成角

解（I）.连结BF.

在△ABC中，D，E分别是AC，BC的中点，

∴DE∥AB，

∴∠FAB或其补角为异面直线AF与DE所成角

由AC=AB=SA=2，AC⊥AB，E是BC的中点，得AE=

∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AE.

在Rt△SAE中，SE=，可得

∵SA⊥底面ABC，∴.SA⊥BC，又BC⊥AE，

∴BC⊥平面SAE，

∴BC⊥SE，

∵

∴BF=

∴

即异面直线AF与DE所成角的余弦值。

（II）.由（I）知，∴AF⊥SE.

∵BC⊥平面SAE，所以BC⊥AF.

又SEBC=E，.AF⊥平面SBC.

（III）.延长AG交BC于P点，连结PF.

由（II）知AF⊥平面SBC，∴PF为AP在平面SBC上的投影，

∴∠APF即为直线AG与平面SBC所成角

∵G为线段DE的中点，

∴CP=2PE，又SF=2FE，

.∴

,

即直线AG与平面SBC所成角的余弦值为