Question

（本题满分14分）已知函数其中a>0,且a≠1，

（1）求函数的定义域；

（2）当0＜a＜1时，解关于x的不等式；

（3）当a＞1，且x∈[0，1)时，总有恒成立，求实数m的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）函数f(x)的定义域为；（2）；（3）m≤0。

【解析】

试题分析：（1）由真数大于零，可得函数的定义域.

（2）由f(x)≥0得2log_a(x+1)≥log_a(1-x)，因为0<a<1,则对数函数是减函数，

所以.

(3) a＞1且x∈[0，1）时恒成立.

然后研究真数的取值范围，再结合对数函数的单调性可求出的最小值，让m小于等于其最小值即可.

（1）函数f(x)的定义域为………3分

   （2）由f(x)≥0得2log_a(x+1)≥log_a(1-x)

    ∵0＜a＜1 ∴……………………………………（8分）

   （3）由题意知：a＞1且x∈[0，1）时恒成立.……（9分）

    设，令t=1-x，t∈（0,1],∴……（10分）

设  

,

    ∴u(t)的最小值为1……………………………（12分）

    又∵a＞1，的最小值为0…………………（13分）

    ∴m的取值范围是m≤0…………………………………（14分）

考点： 对数函数的定义域，解对数不等式，对数函数的性质，不等式恒成立，对数函数的最值.

点评：对数的真数大于零，就是求函数的定义域的依据之一；

利用对数函数的单调性求解不等式转化为真数的大小关系；

不等式恒成立问题，在参数与变量分离的情况下可转化为函数的最值问题来解.