Question

已知函数为偶函数．
(1)求的值；
(2)若方程有且只有一个根，求实数的取值范围．

Answer 1

(1)；(2) 或.

解析试题分析：(1)法一：根据为偶函数，将等式化简整理即可得到的值；法二：根据为偶函数，得到即，从中求解即可得到，检验此时是否满足即可；(2)首先将方程化简:；由得，进而可得，令 ，则*变为关于的方程只有一个正实数根，先考虑的情形是否符合，然后针对二次方程的根的分布分该方程有一正一负根、有两个相等的正根进行讨论求解，并保证即可，最后根据各种情况讨论的结果写出的取值范围的并集即可.
(1)法一：因为为偶函数，所以
即，∴
∴，∴                6分
法二：因为为偶函数，所以即，解得
此时，
，所以.
(2)依题意知:
∴由得
               8分
令 ，则①变为，只需关于的方程只有一个正根即可满足题意
(1) 不合题意                    9分
(2)①式有一正一负根，则 经验证满足，    11分
(3)若①式有两相等正根，则，此时
若，则，此时方程无正根
故舍去                       13分
若，则，且
因此