Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面， // ,, ,点点P在棱上.

（1）求证： ；

（2）若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值；

（3）是否存在正实数，使得，且满足二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）2

【解析】试题分析：（1）利用面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理及其性质定理即可得出．
（2）以为坐标原点， 分别为轴建立如图所示空间直角坐标系．

求得， 利用平面法向量的夹角公式即可得出异面直线与所成角的余弦值；

（3）假设存在正实数满足题意，易知平面的一个法向量为，设，

由，求得，进而求得， ，求得平面的一个法向量为，利用平面法向量的夹角公式即可得出．

试题解析：(1)证： 平面平面，

平面平面，

又

又四边形为矩形，

以为坐标原点， 分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.则，

， ，则

， ，

异面直线所成角的余弦值为

（3）假设存在正实数满足题意，易知平面的一个法向量为，设，

由得： 得：

即：

，

设平面的一个法向量为则

即 令，则，

即 ， 则

解之得：

综上所述，存在满足题意.