Question

【题目】已知直线l：y=x+1，圆O： ，直线l被圆截得的弦长与椭圆C： 的短轴长相等，椭圆的离心率e= ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M（0， ）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：则由题设可知b=1，

又e= ，∴ = ，∴a2=2

所以椭圆C的方程是 +y2=1．

（2）解：若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1①

若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是 ②

由①②解得 ．

由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）．

事实上点T（0，1）就是所求的点．证明如下：

当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为x2+y2=1，过点T（0，1）；

当直线l的斜率存在，设直线方程为 ，代入椭圆方程，并整理，得（18k2+9）x2﹣12kx﹣16=0

设点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2= ，x1x2=

∵ =（x1，y1﹣1）， =（x2，y2﹣1）

∴ =x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）=（k2+1）x1x2﹣ （x1+x2）+ =

∴ ，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）

综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件．

【解析】（1）由题设可知b=1，利用 ，即可求得椭圆C的方程；（2）先猜测T的坐标，再进行验证．若直线l的斜率存在，设其方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标运算公式即可证得．