Question

【题目】已知函数.

（1）当时，比较与1的大小；

（2）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；

（3）求证：对于一切正整数，都有.

Answer 1

【答案】（1）当时， ，当时， ，当时， ；（2）或；(3)证明见解析．

【解析】试题分析： （1）当时， ，其定义域为，令 在上是增函数故当时， ；当时， ；当时， ；（2）当时 ，其定义域为，令

当或时， ；当时， 函数在上递增，在上递减，在上递增 的极大值为，极小值为，又当时， ；当时， ， 或；（3）根据（1）的结论知当时， 即当时， ，令

所以．

试题解析： （1）当时， ，其定义域为，因为，所以在上是增函数，

故当时， ；当时， ；

当时，

（2）当时， ，其定义域为，

，令得，

因为当或时， ；当时， ，

所以函数在上递增，在上递减，在上递增且的极大值为，极小值为，又当时， ；当时， ，

因为函数仅有一个零点，所以函数的图象与直线仅有一个交点．所以或；

（3）根据（1）的结论知当时， ．

即当时， ，即令，则有，

从而得，

故得，

即，

所以．