练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （2013•深圳一模）已知f(x)=x-
    a
    x
    (a＞0)    ，g（x）=2lnx+bx，且直线y=2x-2与曲线y=g（x）相切．
    （1）若对[1，+∞）内的一切实数x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
    （2）当a=1时，求最大的正整数k，使得对[e，3]（e=2.71828…是自然对数的底数）内的任意k个实数x1，x2，…，xk都有f（x1）+f（x2）+…+f（xk-1）≤16g（xk）成立；
    （3）求证：
    n
    i=1
    4i
    4i2-1
    ＞ln(2n+1)(n∈N*)    ．
    分析：（1）首先设出直线y=2x-2与曲线y=g（x）的切点，把切点代入两曲线方程后联立可求得b的值，解出g（x）后把f（x）和g（x）的解析式代入f（x）≥g（x），分离变量a后对函数进行两次求导得到函数在区间[1，+∞）内的最小值，则实数a的范围可求；
    （2）当a=1时可证得函数f（x）在[e，3]上为增函数，而g（x）也是增函数，把不等式左边放大取最大值，右边取最小值，代入后即可求解最大的正整数k；
    （3）该命题是与自然数有关的不等式，采用数学归纳法证明，由归纳假设证明n=k+1成立时，穿插运用分析法．
    解答：解：（1）设点（x0，y0）为直线y=2x-2与曲线y=g（x）的切点，则有2lnx0+bx0=2x0-2①
    ∵g′(x)=
    2
    x
    +b    ，∴
    2
    x0
    +b=2    ②
    由②得，2x0-2=bx0，代入①得x0=1，所以b=0，则g（x）=2lnx．
    由f（x）≥g（x），即x-
    a
    x
    ≥2lnx    ，整理得
    a
    x
    ≤x-2lnx    ，
    ∵x≥1，∴要使不等式f（x）≥g（x）恒成立，必须a≤x2-2xlnx恒成立．
    设h（x）=x2-2xlnx，h′(x)=2x-2(lnx+x•
    1
    x
    )=2x-2lnx-2    ，
    ∵h″(x)=2-
    2
    x
    ，∴当x≥1时，h''（x）≥0，则h'（x）是增函数，
    ∴h'（x）≥h'（1）=0，∴h（x）是增函数，则h（x）≥h（1）=1，∴a≤1．
    又a＞0，因此，实数a的取值范围是0＜a≤1． 
    （2）当a=1时，f(x)=x-
    1
    x
    ，∵f′(x)=1+
    1
    x2
    ＞0    ，∴f（x）在[e，3]上是增函数，
    f（x）在[e，3]上的最大值为f(3)=
    8
    3
    ．
    要对[e，3]内的任意k个实数x1，x2，…，xk，都有f（x1）+f（x2）+…+f（xk-1）≤16g（xk）成立，
    必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，∵当x1=x2=…=xk-1=3时不等式左边取得最大值，
    xk=e时不等式右边取得最小值．∴（k-1）f（3）≤16g（3），即(k-1)×
    8
    3
    ≤16×2    ，解得k≤13．
    因此，k的最大值为13．         
    （3）证明：1°当n=1时，左边=
    4
    3
    ，右边=ln3，
    根据（1）的推导有，x∈（1，+∞）时，f（x）＞g（x），即x-
    1
    x
    ＞2lnx    ．
    令x=3，得3-
    1
    3
    ＞2ln3    ，即
    4
    3
    ＞ln3    ．
    因此，n=1时不等式成立．   
    2°假设当n=k时不等式成立，即
    k
    i=1
    4i
    4i2-1
    ＞ln(2k+1)    ，
    则当n=k+1时，
    k+1
    i=1
    4i
    4i2-1
    =
    k
    i=1
    4i
    4i2-1
    +
    4(k+1)
    4(k+1)2-1
    ＞ln(2k+1)+
    4(k+1)
    4(k+1)2-1
    ，
    要证n=k+1时命题成立，即证ln(2k+1)+
    4(k+1)
    4(k+1)2-1
    ＞ln(2k+3)    ，
    即证
    4(k+1)
    4(k+1)2-1
    ＞ln
    2k+3
    2k+1
    ．
    在不等式x-
    1
    x
    ＞2lnx    中，令x=
    2k+3
    2k+1
    ，得ln
    2k+3
    2k+1
    ＜
    1
    2
    (
    2k+3
    2k+1
    -
    2k+1
    2k+3
    )=
    4(k+1)
    4(k+1)2-1
    ．
    ∴n=k+1时命题也成立．    
    综上所述，不等式
    n
    i=1
    4i
    4i2-1
    ＞ln(2n+1)    对一切n∈N*成立．
    点评：本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、数学归纳法等综合知识，考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识，属难题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•深圳一模）已知函数f（x）=ax+x2-xlna-b（a，b∈R，a＞1），e是自然对数的底数．
    （1）试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
    （2）当a=e，b=4时，求整数k的值，使得函数f（x）在区间（k，k+1）上存在零点；
    （3）若存在x1，x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1，试求a的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•深圳一模）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的参数方程为
    x=
    		t
    y=t+1.
    （t为参数），曲线C2的极坐标方程为ρsinθ-ρcosθ=3，则C1与C2交点在直角坐标系中的坐标为
    （2，5）
    （2，5）
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•深圳一模）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log3（1+x），则f（-2）=（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•深圳一模）已知函数f(x)=2sin(
    πx
    6
    +
    π
    3
    )(0≤x≤5)    ，点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最高点和最低点．
    （1）求点A、B的坐标以及
    OA
    •
    OB
    的值；
    （2）设点A、B分别在角α、β的终边上，求tan（α-2β）的值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•深圳一模）已知数列{an}满足：a1=1，a2=a（a≠0），an+2=p•
    an+12
    an
    （其中p为非零常数，n∈N*）．
    （1）判断数列{
    an+1
    an
    }    是不是等比数列？
    （2）求an；
    （3）当a=1时，令bn=
    nan+2
    an
    ，Sn为数列{bn}的前n项和，求Sn．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案