Question

【题目】设，是函数的图象上任意两点，若为，的中点，且的横坐标为．

（1）求；

（2）若，，求；

（3）已知数列的通项公式（，），数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）．

【解析】

试题（1）根据中点坐标公式可知，所以，

，整理即可求得的值；（2）由第（1）问可知当时，为定值，观察可知共项，根据倒序相加法可知，，，和均为定值2，共个2，所以和为，即得到的值；（3）由可知，为等差数列乘等比数列，所以求数列的前n项和采用错位相减法，然后代入整理得到恒成立，所以只需，因此根据数列的单调性求出的最大值即可．本题以函数为背景，旨在考查数列的相关知识，考查倒序相加求和，错位相减求和，同时还考查不等式恒成立问题．综合性较强，考查学生对知识总体的把握能力．

试题解析：（1）由已知点M为线段AB的中点， 则：

∴

（2）由（1），当时，有

故

∴

（3）由已知：

不等式即

也即，即恒成立

故只需

令

当时，

当时，，当时，

故；

故

∴，解得：