Question

已知椭圆W的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

6

3

，两条准线间的距离为6．椭圆W的左焦点为F，过左准线与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线l与椭圆W交于不同的两点A、B，点A关于x轴的对称点为C．
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）求证：

CF

=λ

FB

（λ∈R）；
（Ⅲ）求△MBC面积S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据离心率，准线和a，b和c的关系，联立方程求得a，b和c．椭圆的方程可得．
（Ⅱ）根据准线方程可求得M的坐标．于是可设直线l的方程为y=k（x+3），点A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则点C的坐标为（x₁，-y₁），y₁=k（x₁+3），y₂=k（x₂+3）．进而根据椭圆的第二定义得

|FB|

|FC|

，判断出B，F，C三点共线，
（Ⅲ）根据三角形面积公式求得S的表达式，根据k的范围确定S的范围．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆W的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由题意可知

c a = 6 3 a2=b2+c2 2• a2 c =6

解得a=

6

，c=2，b=

2

，
所以椭圆W的方程为

x2

6

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）因为左准线方程为x=-

a2

c

=-3，所以点M坐标为（-3，0）．
于是可设直线l的方程为y=k（x+3），点A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则点C的坐标为（x₁，-y₁），y₁=k（x₁+3），y₂=k（x₂+3）．
由椭圆的第二定义可得

|FB|

|FC|

=

x2+3

x1+3

=

|y2|

|y1|

，
所以B，F，C三点共线，即

CF

=λ

FB

．
（Ⅲ）由题意知S=

1

2

|MF||y1|+

1

2

|MF||y2|=

1

2

|MF|•|y1+y2|=|MF|

1

2

|k(x1+x2)+6k|；
又由M（-3，0），F（-2，0），则|MF|=1，
则S=

3|k|

1+3k2

=

3

1 |k| +3|k|

≤

3

2 3

=

3

2

，
当且仅当k2=

1

3

时“=”成立，
所以△MBC面积S的最大值为

3

2

．

点评：本题主要考查了椭圆的应用．知识点多，复杂难懂，应熟练掌握椭圆的一些基本性质．