Question

【题目】已知函数有两个极值点。

（1）求的取值范围；

（2）求证：。

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】分析：第一问利用题中的条件函数有两个极值点，相当于导数等于零有两个解，对函数求导，再求二阶导，对函数图像的走向加以分析，最后求得结果，第二问构造相应的函数，研究函数的图像，找出其对应的最值，最后求得结果.

详解：（1），设，则，

当时，，所以在单调递减，

当时，，所以在单调递增，

所以当时，取得最小值，

因为函数有两个极值点，所以函数有两个零点，

所以，所以 ，此时，

，

设，则，

因为时，；时，；

所以在上单调递减，在单调递增，

所以，即，

所以，即，

综上可得的取值范围是。

（2）由（1）知是方程的两根，所以，

且时，，所以是上的减函数，

所以

，

因为，所以，即

所以