Question

（本题满分12分）如图，已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC₁、BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且满足．

（1）证明：PN⊥AM；

（2）若平面PMN与平面ABC所成的角为45°，试确定点P的位置．

Answer 1

解：（1）证明：如图，以AB，AC，AA₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz．

则P（λ，0,1），N（，，0），M（0,1，），…………………2分

从而＝（－λ，，－1），＝（0,1，），＝（－λ）×0＋×1－1×＝0，所以PN⊥AM．…………………4分

（2）平面ABC的一个法向量为n＝＝（0,0,1）．

设平面PMN的一个法向量为m＝（x，y，z），

由（1）得＝（λ，－1，）．

由………………6分

解得．……………8分

∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，

∴|cos〈m，n〉|＝||＝＝，

解得λ＝－．…………………10分

故点P在B₁A₁的延长线上，且|A₁P|＝．…………………12分