Question

【题目】某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为1（百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）．

（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；

（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）见解析，，x[0，1]；（2）P(，)时，视角∠EPF最大．

【解析】

（1）以A为原点，l1为x轴，抛物线的对称轴为y轴建系，设出方程，通过点的坐标可求方程；

（2）设出的坐标，表示出，利用基本不等式求解的最大值，从而可得观测点P的坐标．

（1）以A为原点，l1为x轴，抛物线的对称轴为y轴建系

由题意知：B(1，0.5)，设抛物线方程为

代入点B得：p＝1，故方程为，x[0，1]；

（2）设P(，)，t[0，]，作PQ⊥l3于Q，记∠EPQ＝，∠FPQ＝

，，

令，，则：

，

当且仅当即，即，即时取等号；

故P(，)时视角∠EPF最大，

答：P(，)时，视角∠EPF最大．