Question

己知函数f（x）=x²e^-x
（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；
（Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用导数的运算法则即可得出f^′（x），利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义，即可求出函数的极值；
（Ⅱ）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求出与x轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²e^-x，∴f′（x）=2xe^-x-x²e^-x=e^-x（2x-x²），
令f′（x）=0，解得x=0或x=2，
令f′（x）＞0，可解得0＜x＜2；令f′（x）＜0，可解得x＜0或x＞2，
故函数在区间（-∞，0）与（2，+∞）上是减函数，在区间（0，2）上是增函数．
∴x=0是极小值点，x=2极大值点，又f（0）=0，f（2）=

4

e2

．
故f（x）的极小值和极大值分别为0，

4

e2

．
（II）设切点为（x0，x02e-x0），
则切线方程为y-x02e-x0=e-x0(2x0-x02)（x-x₀），
令y=0，解得x=

x02-x0

x0-2

=(x0-2)+

2

x0-2

+3，
因为曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数，∴e-x0（2x0-

x

2 0

)＜0，∴x₀＜0或x₀＞2，
令f(x0)=x0+

2

x0-2

+1，
则f′(x0)=1-

2

(x0-2)2

=

(x0-2)2-2

(x0-2)2

．
①当x₀＜0时，(x0-2)2-2＞0，即f^′（x₀）＞0，∴f（x₀）在（-∞，0）上单调递增，∴f（x₀）＜f（0）=0；
②当x₀＞2时，令f^′（x₀）=0，解得x0=2+

2

．
当x0＞2+

2

时，f^′（x₀）＞0，函数f（x₀）单调递增；当2＜x0＜2+

2

时，f^′（x₀）＜0，函数f（x₀）单调递减．
故当x0=2+

2

时，函数f（x₀）取得极小值，也即最小值，且f(2+

2

)=3+2

2

．
综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是（-∞，0）∪[2

2

+3，+∞)．

点评：本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域，综合性强，考查了推理能力和计算能力．