Question

设函数f(x)=

2x2

x+1

，g（x）=（a+2）x+5-3a．
（1）求函数f（x）在区间[0，1]上的值域；
（2）若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求实数a的取值范围．．

Answer 1

分析：（1）设0≤x₁≤x₂≤1，用定义证明f（x）在[0，1]上是增函数，由此能求出函数f（x）在区间[0，1]上的值域．
（2）记f（x），g（x）在区间[0，1]上的值域分别是A，B，由题意知A⊆B，根据实数a+2的取值进行分类讨论，能求出a的取值范围．

解答：解：（1）∵f(x)=

2x2

x+1

，
设0≤x₁≤x₂≤1，
则f（x₁）-f（x₂）=

2x12

x1+1

-

2x22

x2+1

=

2(x1-x2)(x1x2+x1+x2)

(x1+1)(x2+1)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在[0，1]上是增函数，
∴f（x）_min=f（0）=0，
f（x）_max=f（1）=1，
故函数f（x）在区间[0，1]上的值域为[0，1]．
（2）∵g（x）=（a+2）x+5-3a，
记f（x），g（x）在区间[0，1]上的值域分别是A，B，
由题意知A⊆B，
由（1）知，A=[0，1]，
当a＞-2时，B=[g（0），g（1）]=[5-3a，7-2a]，
则

5-3a≥1 7-2a≤0

，解得

5

3

≤a≤3；
当a=2时，B={11}，不合题意．
当a＜-2时，B=[g（1），g（0）]=[7-2a，5-3a]，则

5-3a≥1 7-2a≤0

，无解．
综上所述，a的取值范围是[

5

3

，3]．

点评：本题考查函数的值域的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的应用，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．