Question

在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线l：x=2的距离是到点F（1，0）的距离的倍．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线FP与（Ⅰ）中曲线交于点Q，与l交于点A，分别过点P和Q作l的垂线，垂足为M，N，问：是否存在点P使得△APM的面积是△AQN面积的9倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y）．
由题意知•=|2-x|…（3分）
化简得x²+2y²=2，
∴动点P的轨迹方程为x²+2y²=2，即+y²=1--------（5分）
（Ⅱ）设直线FP的方程为x=ty+1，点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
因为△AQN∽△APM，所以PM=3QN，
由已知得PF=3QF，所以有y₁=-3y₂…（1）--------（7分）
由，消去x得（t²+2）y²+2ty-1=0，
∴△＞0且y₁+y₂=-…（2），y₁y₂=-…（3）--------（10分）
联解（1）（2）（3），得t=-1，y₁=1，y₂=-或t=1，y₁=-1，y₂=
∴存在点P（0，±1）使得△APM的面积是△AQN面积的9倍．--------（13分）
分析：（I）设点P的坐标为（x，y），根据点到直线的距离公式和两点间的距离公式，结合题意建立关于x、y的等式，化简整理可得x²+2y²=2，所以动点P的轨迹方程为椭圆+y²=1；
（II）设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．将直线FP方程x=ty+1与椭圆消去x，得到关于y的一元二次方程，结合根与系数的关系得到y₁+y₂和y₁y₂关于t的表达式．若△APM的面积是△AQN面积的9倍，由平几知识可得△AQN∽△APM，则PM=3QN，结合椭圆的性质得PF=3QF．因此得到y₁=-3y₂结合前面的等式，解出t=-1，从而得到存在点P（0，±1）使得△APM的面积是△AQN面积的9倍．
点评：本题给出动点P的轨迹是椭圆，探索椭圆的焦点弦所在直线与准线相交构成三角形的面积问题．着重考查了椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系和三角形相似等知识，属于中档题．