Question

【题目】已知函数．

若，求函数的单调区间；

若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为．（2）

【解析】

（1）f（1）=﹣5，0﹣a﹣3=﹣5，解得a．利用导数研究函数的单调性即可得出．

（2）由f（x）=alnx﹣ax﹣3，可得f′（x）=﹣a．由题意可得：f′（2）=﹣a=tan45°=1，解得a=﹣2．可得f′（x）=﹣+2．g（x）=x3+x2=x3+x2﹣2x，g′（x）=3x3+（m+4）x﹣2．g′（0）=﹣2．函数g（x）=x3+x2[f′（x）+]在区间（t，3）上总不是单调函数，可得，由题意可知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立．利用单调性即可得出．

（1）∵f（1）=﹣5，0﹣a﹣3=﹣5，解得a=2．

∴f（x）=2lnx﹣2x﹣3．

∴f′（x）=﹣2=，（x＞0）．

∴函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．

（2）∵f（x）=alnx﹣ax﹣3，∴f′（x）=﹣a．

由题意可得：f′（2）=﹣a=tan45°=1，解得a=﹣2．

∴f（x）=﹣2lnx+2x﹣3．f′（x）=﹣+2．

g（x）=x3+x2[f′（x）+]=x3+x2=x3+x2﹣2x，

∴g′（x）=3x3+（m+4）x﹣2．g′（0）=﹣2．

函数g（x）=x3+x2[f′（x）+]在区间（t，3）上总不是单调函数，

∴，由题意可知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立．

∴3t2+（m+4）t﹣2＜0，则﹣（m+4）＞3t﹣对任意的t∈[1，2]成立．

又3t﹣在t∈[1，2]为增函数，则﹣（m+4）＞6﹣1，

∴＜m＜﹣9．