Question

(本小题满分15分)

已知以点为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点。

（Ⅰ）求证：△AOB的面积为定值；

（Ⅱ）设直线2x+y－4=0与圆C交于点M、N，若，求圆C的方程；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设P、Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C的动点，求的最小值及此时点P的坐标。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）为定值。

（Ⅱ）圆C的方程为 

（Ⅲ）的最小值为，直线的方程为，则直线与直线x+y+2=0的交点P的坐标为

【解析】解：(Ⅰ)由题设知，圆C的方程为，化简得，当y=0时，x=0或2t，则；当x=0时，y=0或，则，

∴为定值。   ……………5分

（II）∵，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率，∴t=2或t=－2

∴圆心C(2，1)或C(－2，－1)∴圆C的方程为或，由于当圆方程为时，直线2x+y－4=0到圆心的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去。

∴圆C的方程为                 ……………10分

（Ⅲ）点B(0，2)关于直线x+y+2=0的对称点为 ，则，又到圆上点Q的最短距离为。

所以的最小值为，直线的方程为，则直线与直线x+y+2=0的交点P的坐标为               ……………15分