Question

【题目】在平面直角坐标系中，椭圆： （）的离心率为，连接椭圆的四个顶点所形成的四边形面积为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若椭圆上点到定点（）的距离的最小值为1，求的值及点的坐标；

（3）如图，过椭圆的下顶点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点， ，设直线的斜率为，直线： 分别与直线， 交于点， ．记， 的面积分别为， ，是否存在直线，使得？若存在，求出所有直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）的值为2，点的坐标为（3），

【解析】试题分析：（1）根据题意列出式子解得从而得到椭圆方程；（2）根据点点距公式得到，研究这个函数的最值即可；（3）联立直线和椭圆得到二次方程， ，将面积比转化为坐标之比代入即可。

解析：

（1）由题意得： 解得

所以椭圆的标准方程为．

（2）设，由定点，考虑距离的平方：

则，

二次函数的图象对称轴为，

由椭圆方程知，

由题设知，

①当，即时，在时有，

解得，不符合题意，舍去；

②当，即时，由单调性知：在时有，

解得或（舍）．

综上可得： 的值为2，点的坐标为．

（3）由（1）知， ，则直线的方程为，

联立消去并整理得，解得；

直线的方程为，同理可得．

联立解得，同理可得，

所以，

即，解得或，

所以或，

故存在直线： ， 满足题意．