Question

【题目】已知椭圆，点为半圆上一动点，若过作椭圆的两切线分别交轴于、两点.

（1）求证：；

（2）当时，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）分两种情况讨论：①两切线、中有一条切线斜率不存在时，求出两切线的方程，验证结论成立；②两切线、的斜率都存在，可设切线的方程为，将该直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出关于的二次方程，利用韦达定理得出两切线的斜率之积为，进而可得出结论；

（2）求出点、的坐标，利用两点间的距离公式结合韦达定理得出，换元，可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.

（1）由于点在半圆上，则.

①当两切线、中有一条切线斜率不存在时，可求得两切线方程为，或，，此时；

②当两切线、的斜率都存在时，设切线的方程为（、的斜率分别为、），

，

，，.

综上所述，；

（2）根据题意得、，

，

令，则，

所以，当时，，当时，.

因此，的取值范围是.