Question

数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，且3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t为常数，，t≠0，n≥2）
（1）求证：{a_n}是等比数列；
（2）设{a_n}的公比为f（t），数列{b_n}（满足b₁=1，，求b_n；
（3）数列{c_n}的通项为，那么是否存在实数t，使得数列{（-1）ⁿc_n+c_n+1}中的每一项都大于1？若存在，求出t的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意得，由此能够证明：{a_n}是等比数列．
（2）由，知．
（3）由，当n为奇数时，对所有奇数成立；当n为偶数时，对所有偶数成立，由此能够求出存在满足条件的实数t，t＞6或且．
解答：解：（1）由题意，可得
，
两式相减，得3ta_n-（2t+3）a_n-1=0，
即
又3t（1+a₂）-（2t+3）=3t，
∴，
∴
所以，{a_n}是以1为首项，为公比的等比数列；
（2），
∴；
（3）
①当n为奇数时，
若存在满足条件的t，
则对所有奇数成立，
即对所有奇数成立，
所以，
∴或
②当n为偶数时，
若存在满足条件的t，则对所有偶数成立，
即对所有偶数成立，
所以，
∴t＞6或
综合之，存在满足条件的实数t，t＞6或且．
点评：本题考查不等式和数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．