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据中新网2009年4月9日电,日本鹿儿岛县樱岛昭和火山口当地时间9日下午3点31分发生中等规模爆发性喷火,鹿儿岛市及周边飞扬了大量火山灰.火山喷发停止后,为测量的需要距离喷口中心50米内的圆环面为第1区、50米至100米的圆环面为第2区、100米至150米的圆环面为第3区、…、第50(n-1)米至50n米的圆环面为第n区,…,现测得第1区火山灰平均每平方米为1吨、第2区每平方米的平均重量较第1区减少2%、第3区较第2区又减少2%,…,以此类推.
(1)若第n区每平方米的重量为an千克,请写出an的表达式;
(2)第几区内的火山灰总重量最大?
(3)该火山这次喷发出的火山灰的总重量为多少万吨(π 取3,结果精确到万吨)?
分析:(1)由题意可知an=1000(1-2%)n-1=1000(1-0.02)n-1(n∈N*);
(2)设第n区内的面积为bnm2,第n区火山灰总重量Cn=anbn最大,则
CnCn-1′
CnCn+1
,解之即可求出第几区内的火山灰总重量最大;
(3)设该火山前n区这次喷发出的火山灰的总重量为S万吨,再由错位相减可知该火山前n区这次喷发出的火山灰的总重量,最后利用极限可求出所求.
解答:解(1)由题意可知an=1000(1-2%)n-1=1000(1-0.02)n-1(n∈N*).
(2)设第n区内的面积为bn平方米,
则 bn=π502n2-π502(n-1)2=2500π(2n-1).
则第n区内火山灰的总重量为Cn=anbn=2500π(2n-1)(1-2%)n-1(吨)=
π
4
(2n-1)(0.98)n-1
(万吨)
设第n区火山灰总重量最大,则
π
4
(2n-1)(0.98)n-1
π
4
(2n-3)(0.98)n-2
π
4
(2n-1)(0.98)n-1
π
4
(2n+1)(0.98)n

解得49
1
2
≤n≤50
1
2
,∴n=50.
即得第50区火山灰的总重量最大.
(Ⅲ)设火山喷发的火山区灰总重量为S万吨,
则S=C1+C2+…+Cn+…,
设Sn=C1+C2+…+Cn,q=1-0.02,
Sn=
π
4
+
4
q+
4
q2+…+
(2n-1)π
4
qn-1

qSn=
π
4
q+
4
q2+
4
q3+…+
(2n-1)π
4
qn

①-②得(1-q)Sn=
π
4
+
π
2
(q+q2+…+qn-1)-
(2n-1)π
4
qn

Sn=
π
4(1-q)
+
πq(1-qn-1)
2(1-q)2
-
(2n-1)π
4(1-q)
qn

∵0<q<1,∴S=
lim
n→∞
Sn=
π
4(1-q)
+
πq
2(1-q)2
=
π
4×0.02
+
π×0.98
(0.02)2
≈3712
(万吨)
因此该火山这次喷发出的火山灰的总重量约为3712万吨.
点评:本题主要考查数列性质的综合运用,以及利用错位相消法求和,解题时要认真审题,同时考查了计算能力,属于中档题.
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科目:高中数学 来源:2010年重庆市部分重点中学高考数学一模试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

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(1)若第n区每平方米的重量为an千克,请写出an的表达式;
(2)第几区内的火山灰总重量最大?
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