Question

直角三角形ABC中，∠C=90°，B、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD=3DC，△ABC的周长为12．若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D两点．
（1）求双曲线E的方程；
（2）若一过点P（3，0）的直线l与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且

MP

=λ

PN

，问在x轴上是否存在定点G，使

BC

⊥(

GM

-λ

GN

)？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出双曲线的方程，则可表示出B，C，D坐标，根据BD=3DC求得a和c的关系，进而利用双曲线的定义以及三角形的周长建立方程组求得a，进而求得c和b，则双曲线的方程可得．
（2）在x轴上存在定点G使题设成立，设出直线l的方程，根据

MP

=λ

PN

求得x₁-t=λ（x₂-t），把直线方程代入椭圆方程消去y，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而求得t，则定点G的坐标可求．

解答：解：（1）解：设双曲线E的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1  (a＞0，b＞0)，
则B（-c，0），D（a，0），C（c，0）．
由BD=3DC，得c+a=3（c-a），即c=2a
∴

|AB|2-|AC|2=16a2 |AB|+|AC|=12-4a |AB|-|AC|=2a.

解之得a=1，∴c=2，b=

3

∴双曲线E的方程为x2-

y2

3

=1．
（2）解：设在x轴上存在定点G（t，0），使

BC

⊥(

GM

-λ

GN

)．
当l⊥x轴时，由

MP

=λ

PN

，显然成立
当l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x-3），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由

MP

=λ

PN

，即（3-x₁，y₁）=λ（x₂-3，y₂），即3-x₁=λ（x₂-3），即λ=

3-x1

x2-3

∵

BC

=(4，0)，

GM

-λ

GN

=(x1-t-λx2+λt，y1-λy2)，
∴

BC

⊥(

GM

-λ

GN

)?x₁-t=λ（x₂-t），将λ=

3-x1

x2-3

代入得2x₁x₂-（3+t）（x₁+x₂）+6t=0①
将y=k（x-3）代入方程为x2-

y2

3

=1整理得得：（3-k²）x²-6k²x-9k²-3=0
其中k²-3≠0且△＞0，即k2≠

3

且x1+x2=

-6k2

3-k2

， x1x2=

-9k2-3

3-k2

代入①，得：

-18k2-6

3-k2

+

6(t+3)k2

3-k2

+6t=0，化简得：t=

1

3

．
因此，在x轴上存在定点G(

1

3

，0)，使

BC

⊥(

GM

-λ

GN

)．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生分析问题，解决问题的能力．