Question

已知命题p：方程a²x²+ax-2=0在[-1，1]上有且仅有一解．命题q：只有一个实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0．若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析：若命题p真，即方程a²x²+ax-2=0在[-1，1]上有且仅有一解，可求得-2＜a≤-1或1≤a＜2；若命题q真，即只有一个实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0，由△=0可求得a=0或a=2，依题意，
命题p和命题q都是假命题，从而可求得a的取值范围．

解答：解：由a²x²+ax-2=0，得（ax+2）（ax-1）=0，显然a≠0，
∴x=-

2

a

或x=

1

a

，
∵方程a²x²+ax-2=0在[-1，1]上有且仅有一解，
故

| 2 a |≤1 | 1 a |＞1

或

| 1 a |≤1 | 2 a |＞1

∴-2＜a≤-1或1≤a＜2．
只有一个实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0，
∴△=4a²-8a=0，解得a=0或a=2．
∵命题“p或q”是假命题，
∴命题p和命题q都是假命题，
∴a的取值范围为{a|a≤-2或-1＜a＜0或0＜a＜1或a＞2}．

点评：本题考查复合命题的真假，求得命题p真与命题q真中a的取值范围是关键，考查分析，理解与运算能力，属于中档题．