Question

【题目】在四棱锥中，平面平面，平面平面.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若底面为矩形，，为的中点，，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题（Ⅰ）由题意平面，得到所以，同理可证，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面；

（Ⅱ）分别以、、所在方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解直线与平面所成的角的正弦值.

试题解析：

（Ⅰ）证法1：在平面内过点作两条直线，，

使得，.

因为，所以，为两条相交直线.

因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面.所以.同理可证.又因为平面，平面，，所以平面.

证法2：在平面内过点作，在平面内过点作.

因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面.同理可证平面.而过点作平面的垂线有且仅有一条，所以与重合.所以平面.所以，直线为平面与平面的交线.所以，直线与直线重合.所以平面.

（Ⅱ）如图，分别以、、所在方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系.设，则，，，，，.

由为的中点，得；由，得.所以，，.设平面的一个法向量为，

则，即.取，则，.所以.

所以 .

所以，直线与平面所成角的正弦值为.