Question

如图，四边形OABC为矩形，点A、C的坐标分别为（a+1，0）（a＞1）、（0，1），点D在OA上，坐标为（a，0），椭圆C分别以OD、OC为长、短半轴，CD是椭圆在矩形内部的椭圆弧．已知直线l：y=-x+m与椭圆弧相切，且与AD相交于点E．
（Ⅰ）当m=2时，求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）圆M在矩形内部，且与l和线段EA都相切，若直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分，求圆M面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+y2=1．由

x2 a2 +y2=1 y=-x+m

得（1+a²）x²-2a²mx+a²（m²-1）=0．由于直线l与椭圆相切，知△=（2a²m）²-4（1+a²）a²（m²-1）=0，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）由题意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），于是OB的中点为(

a+1

2

，  

1

2

)．因为l将矩形OABC分成面积相等的两部分，所以l过点(

a+1

2

，  

1

2

)，由此入手，能够求出圆M面积的最大值．

解答：解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+y2=1．k•s5•u
由

x2 a2 +y2=1 y=-x+m

消去y得（1+a²）x²-2a²mx+a²（m²-1）=0．（3分）
由于直线l与椭圆相切，∴△=（2a²m）²-4（1+a²）a²（m²-1）=0，
化简得m²-a²=1，①
当m=2时，a²=3，
则椭圆C的标准方程为

x2

3

+y2=1．（6分）
（2）由题意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），于是OB的中点为(

a+1

2

，  

1

2

)．
因为l将矩形OABC分成面积相等的两部分，所以l过点(

a+1

2

，  

1

2

)，
即

1

2

=

-(a+1)

2

+m，亦即2m-a=2．②
由①②解得a=

4

3

，  m=

5

3

，故直线l的方程为y=-x+

5

3

．（9分）
∴E(

5

3

，  0)，  A(

7

3

，  0)．
因为圆M与线段EA相切，所以可设其方程为（x-x₀）²+（y-r）²=r²（r＞0）．
因为圆M在矩形及其内部，所以

0＜r≤ 1 2 x0＞ 5 3   x0+r≤ 7 3 ．

④
圆M与l相切，且圆M在l上方，所以

3(x0+r)-5

3 2

=r，即3(x0+r)=5+3

2

r．
代入④得

0＜r≤ 1 2 5+3( 2 -1)r 3 ＞ 5 3        5+3 2 r 3 ≤ 7 3 ，

即0＜r≤

2

3

．
所以圆M面积最大时，r=

2

3

，这时，圆M面积的最大值为

2π

9

．（15分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．