Question

（2008•湖北模拟）箱子中装有大小相同的2个红球、8个黑球，每次从中摸取1个球．每个球被取到可能性相同．
（1）若每次取球后不放回，求取出3个球中至少有1个红球的概率．
（2）若每次取出后再放回，求第一次取出红球时，已取球次数的分布及数学期望．（要求写出期望过程）

Answer 1

分析：（1）取出3个球中至少有1个红球分两类：取出3个球中只有1个红球和取出3个球中有2个红球，利用古典概型的概率公式求出取出3个球中至少有1个红球的概率．
（2）利用相互独立事件的概率乘法公式求出随机变量取每一个值的概率值，列出分布列，利用随机变量的期望公式求出取球次数的分布及数学期望．

解答：解：（1）取出3个球中至少有1个红球的概率为：

C 1 2 C 2 8 + C 2 2 C 1 8

C 3 10

=

8

15

（4分）
（2）设取球次数为ξ
∵P(ξ=k)=(

4

5

)k-1(

1

5

)
所以ξ的分布列为：

?	1	2	3	…	n	…
P	1 5	4 5 × 1 5	( 4 5 )2 1 5	…	( 4 5 )n-1 1 5	…

Eξ=1×

1

5

+2×

4

5

×

1

5

+3×(

4

5

)2×

1

5

+…+n(

4

5

)n-1(

1

5

)+…

4

5

Eξ=1×

4

5

×

1

5

+2×(

4

5

)2×

1

5

+…+(n-1)(

4

5

)n-1(

1

5

)+n(

4

5

)n(

1

5

)+…
∴

1

5

Eξ=

1

5

+

4

5

×

1

5

+(

4

5

)2×

1

5

+…+(

4

5

)n-1(

1

5

)+…
Eξ=1+

4

5

+(

4

5

)2+…+(

4

5

)n-1+…=

1

1- 4 5

=5

点评：本题考查相互对立事件的概率乘法公式、随机变量的分布列的取法及随机变量的期望公式，是一道中档题．