Question

【题目】已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量＝(sin A，sin B)，＝(cos B，cos A)，且＝sin 2C.

(1)求角C的大小；

(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且，求边c的长.

Answer 1

【答案】（1）；（2）6

【解析】

（1）由向量数量积的坐标运算及两角和的正弦公式可得：sin 2C＝sin C，再结合二倍角的正弦公式即可得解；

（2）由正弦定理可得2c＝a＋b，结合题设可得ab＝36，再由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C运算即可得解.

解：（1）由已知得＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)，

因为A＋B＋C＝π，

所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，

所以＝sin C，又＝sin 2C，

所以sin 2C＝sin C，即，

，，所以cos C＝，所以C＝.

（2）因为sin A，sin C，sin B成等差数列，

则，

由正弦定理得2c＝a＋b.

因为,即，

所以abcos C＝18，所以ab＝36.

由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，

所以c2＝4c2－3×36，

所以c2＝36，所以c＝6.