Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数，.

（1）当时，求的极值；

（2）若存在实数，使得，且，求证：

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见证明

【解析】

（1）求导，讨论其单调性，求其极值即可;

（2）求导，对a进行讨论，求其单调性，得到的范围，再利用函数的单调性和最值可证得所求的范围即可.

解:(1)

当时, 得.

当时, 当时,

所以当时,单调递减, 当时,单调递增,

可得当时, 有极小值

(2)由(1)

当时, 此时单调递增,

若,可得,与矛盾;

当时, 由(1) 知当时,单调递减, 当时,单调递增,

同理不存在或，使得;

不妨设,则有

因为时,单调递减, 当时,单调递增,且,

所以当时,

由且,可得,故,

又在单调递减,且

所以,所以.同理

即

解得

综上所述,命题得证.