Question

已知动圆C经过坐标原点O，且圆心C在直线l：2x+y=4上．
（1）求半径最小时的圆C的方程；
（2）求证：动圆C恒过一个异于点O的定点．

Answer 1

分析：（1）根据题意可设圆心的坐标为（a，4-2a），又因为动圆C经过坐标原点O，所以动圆的半径r=

5(a- 8 5 )2+ 16 5

，根据二次函数的性质求得半径，进而得到圆的方程．
（2）设定点坐标（x₀，y₀），可得x₀²-2ax₀+y₀²-2（4-2a）y₀=0，即a（4y₀-2x₀）+（x₀²+y₀²-8y₀）=0，利用过定点的知识可得：4y₀-2x₀=0且x₀²+y₀²-8y₀=0，进而得到定点．

解答：解：（1）因为圆心C在直线l：2x+y=4上，
所以设圆心的坐标为（a，4-2a）．
又因为动圆C经过坐标原点O，
所以动圆的半径r=

5(a- 8 5 )2+ 16 5

，所以半径r的最小值为

4 5

5

．
并且此时圆的方程为：（x-

8

5

）²+（y-

4

5

）²=

16

5

．
（2）设定点坐标（x₀，y₀），因为圆的方程为：（x-a）²+[y-（4-2a）]²=a²+（4-2a）²
所以x₀²-2ax₀+y₀²-2（4-2a）y₀=0，
即a（4y₀-2x₀）+（x₀²+y₀²-8y₀）=0，
因为当a为变量时，x₀，y₀却能使该等式恒成立，
所以只可能4y₀-2x₀=0且x₀²+y₀²-8y₀=0
即解方程组可得：y₀=

8

5

，x₀=

16

5

或者y₀=0，x₀=0（舍去）
所以圆C恒过一定点（

16

5

，

8

5

）．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握圆的标准方程，以及直线或者圆过定点的有关知识．