Question

在内切圆半径为r（定值）的直角三角形中，试证明等腰三角形的周长为最短．

Answer 1

【答案】分析：设两直角边为a和b，斜边为c，周长为l，根据直角三角形内切圆的性质可知，=r，=r，进而根据均值不等式建立关于l的不等式求得l的范围，确定当a=b时取等号，
解答：证明：设两直角边为a和b，斜边为c，周长为l
则=r，=r，
∴a+b=，ab=lr
∵4ab≤（a+b）²，当且仅当a=b时取等号，
∴4lr≤（）²，解得l≥6+4
故当a=b时周长最短．
即等腰三角形的周长为最短．
点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．解题的关键是判断取最值时满足的条件．