Question

（2012•安徽模拟）已知轴对称平面五边形ADCEF（如图1），BC为对称轴，ADCD，AD=AB=1，CD=BC=

3

，将此图形沿BC折叠成直二面角，连接AF、DE得到几何体（如
图2）
（1）证明：AF∥平面DEC；
（2）求二面角E-AD-B的正切值．

Answer 1

分析：（1）先以B为坐标原点，分别以射线BF、BC、BA为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的坐标系．求出各点坐标以及

AF

和

DE

的坐标，进而得到两向量共线，即可证明线面平行．
（2）先根据条件求出两个半平面的法向量的坐标，进而求出二面角E-AD-B的余弦值，再结合同角三角函数之间的关系即可求出结论．

解答：解：（1）以B为坐标原点，分别以射线BF、BC、BA为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的坐标系．
由已知与平面几何知识得，
A（0，0，1），F（1，0，0），D（0，

3

2

，

3

2

），E（

3

2

，

3

2

，0），
∴

AF

=（1，0，-1），

DE

=（

3

2

，0，-

3

2

），
∴

AF

=

2

3

DE

，∴AF∥DE，
又DE在平面DCE内，AF不在平面DEC内，
∴AF∥平面DEC…（6分）
（2）由（1）得A，D，E，F四点共面，

AF

=（1，0，-1），AD=（0，

3

2

，

1

2

），
设

n

垂直于平面ADEF，

n

=（x，y，z），则

(1，0，-1)•(x，y，z)=0 (0， 3 2 ， 1 2 )•(x，y，z)=0

⇒

x-z=0 3 y+z=0

，
不妨令y=-1，故

n

=（

3

，-1，

3

），
由已知得平面ABCD的一个法向量为

m

=（1，0，0），
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n |•| m |

=

3

3+1+3 ×1

=

3

7

=

21

7

，
设二面角E-AD-B的平面角为α
∴tanα=

1-cos 2α cos 2α

=

1- 21 49 21 49

=

2 3

3

．
∴二面角E-AD-B的正切值为

2 3

3

．…（12分）

点评：本题主要考察用空间向量求平面间的夹角以及线面平行的证明．一般在证明线面平行时，常转化为证明线线平行．