Question

已知点D在定线段MN上，且|MN|＝3，|DN|＝1，一个动圆C过点D且与MN相切，分别过M、N作圆C的另两条切线交于点P．

(Ⅰ)建立适当的直角坐标系，求点P的轨迹方程；

(Ⅱ)过点M作直线l与所求轨迹交于两个不同的点A、B，若(＋λ)·(－λ)＝0，且λ∈[2－，2＋]，求直线l与直线MN夹角θ的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)以直线MN为x轴，MN的中点为坐标原点O， 　　建立直角坐标系xOy．　　　1分 　　∵PM－PN＝(PE＋EM)－(PF＋FN)＝MD－ND＝2 　　或PM－PN＝(PE＋EM)－(PF＋FN)＝MD－ND＝－2　　　3分 　　∴点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线(不包含顶点)， 　　其轨迹方程为(y≠0)　　5分 　　(Ⅱ)∵(＋λ)·( －λ)＝0，且λ∈[2－，2＋]， 　　∴＝±λ，　　　6分 　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x1＋2，y1)，＝(x2＋2，y2) 　　设AB：my＝x＋2，代入得，3(my－2)2－y2－3＝0， 　　即(3m2－1)y2－12my＋9＝0． 　　∴　　　7分 　　①当＝λ时，y1＝λy2，∴　　　8分 　　得，，　　　9分 　　∴∈[4，6]，即4≤≤6． 　　∴　解得，m2≥3，故tan2θ≤　　　10分 　　②当＝－λ时y1＝－λy2，∴　　　11分 　　得，，即． 　　∵λ∈[2－，2＋]，∈[2，4] 　　∴∈[－2，0]，即－2≤≤0． 　　∴　即，故tan2θ≥11．　　　13分 　　由①、②得tan2θ≤或tan2θ≥11． 　　则夹角θ∈(0，]∪[arctan，)，　　　14分 　　∵tanθ不存在时，直线l符合条件，故θ＝时，符合题意． 　　∴θ∈(0，]∪[arctan，)．　　　15分