Question

已知两定点E(-

2

，0)，F(

2

，0)，动点P满足

PE

•

PF

=0，由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，点M满足

PM

=(

2

-1)

MQ

，点M的轨迹为C．
（I）求曲线C的方程；
（II）若线段AB是曲线C的一条动弦，且|AB|=2，求坐标原点O到动弦AB距离的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）设动点P（x₀，y₀），则

EP

=(x0+

2

，y0)，

FP

=(x0-

2

，y0)．
∵动点P满足

EP

•

FP

=0，∴

x

20

-2+

y

20

=0，化为

x

20

+

y

20

=2
即动点P的轨迹方程为

x

20

+

y

20

=2．
设动点M（x，y），则Q（x，0），如图所示，
∵

PM

=(x-x0，y-y0)，

MQ

=(0，-y)，

PM

=(

2

-1)

MQ

，
∴

x-x0=0 y-y0=-y( 2 -1)

，化为

x0=x y0= 2 y

，
代入动点P的轨迹方程得x²+2y²=2，即曲线C的方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，∵|AB|=2=短轴长，∴直线AB经过原点，此时原点到直线的距离=0；
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+t，
联立

y=kx+t x2+2y2=2

，消去y得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
∵直线与椭圆有两个交点，∴△=16k²t²-4（1+2k²）（2t²-2）＞0，化为t²＜1+2k²．（*）
∴x1+x2=-

4kt

1+2k2

，x1x2=

2t2-2

1+2k2

，
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

，
∴2²=(1+k2)[(

-4kt

1+2k2

)2-4×

2t2-2

1+2k2

]，
化为t2=

1+2k2

2(1+k2)

．（**）
原点O到直线AB的距离d=

|t|

1+k2

，∴d2=

t2

1+k2

，
把（**）代入上式得d2=

1+2k2

2(1+k2)2

=

2

(1+2k2)+ 1 1+2k2 +2

≤

2

2+2

=

1

2

，当且仅当1+2k2=

1

1+2k2

，即k²=0，k=0时取等号．
此时t2=

1

2

，满足（*）式．
∴d2≤

1

2

，∴d≤

2

2

，即原点O到直线AB的最大距离d=

2

2

．
综上可知：坐标原点O到动弦AB距离的最大值是

2

2

．