Question

（满分12分）如图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．

(1)求证：AB₁⊥平面A₁BD；

(2)求二面角A－A₁D－B的余弦值；

(3)求点C₁到平面A₁BD的距离．

 

Answer 1

【答案】

(1)见解析；(2) ．(3)．

【解析】本题可以用空间向量法求解.第一步建系至关重要.取BC中点O，连结AO．∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．∵在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，∴AO⊥平面BCC₁B₁．取B₁C₁中点O₁，以O为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.（1）根据向量垂直的坐标运算法则证明即可.

（2）设平面A₁AD的法向量为，再根据，得到x,y,z之间的等式关系，进而得到一个满足条件的法向量，再根据求解即可.

(3)利用向量求距离：.

证明：(1)取BC中点O，连结AO．∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．

∵在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，∴AO⊥平面BCC₁B₁．

取B₁C₁中点O₁，以O为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A₁(0，2，)，A(0，0，)，B₁(1，2，0)，

∴．

∴

∴，∴AB₁平面A₁BD．

(2)设平面A₁AD的法向量为．

＝(－1，1，－)，＝(0，2，0)．

∵，

∴

令z＝1得n＝(－，0，1)为平面A₁AD的一个法向量．

由(1)知AB₁⊥平面A₁BD，为平面A₁BD的法向量．

．

∴二面角A－A₁D－B的大小的余弦值为．

 

(3)C₁点到A₁BD的距离为

．