Question

一气球以V（m/s）的速度由地面上升，10分钟后由观察点P测得气球在P的正东方向S处，仰角为45°；再过10分钟后，测得气球在P的东偏北30°方向T处，其仰角为60°（如图，其中Q、R分别为气球在S、T处时的正投影）．求风向和风速（风速用V表示）．

Answer 1

分析：依题意可知即∠SPQ=

π

4

，∠RPQ=

π

6

，∠TPR=

π

3

，进而可知PQ=QS，RT=2QS，进而根据PR=RT•cot

π

3

求得PR，进而根据余弦定理求得QR，推断出PR²=PQ²+QR²，可知∠PQR=

π

2

，求得答案．

解答：解：10分钟后由观察点P测得气球在P的正东方向，仰角为45°的S点处，
即∠SPQ=

π

4

，所以PQ=QS=600V（m）．
又10分钟后测得气球在P的东偏北30°，其仰角为60°的T点处，
即∠RPQ=

π

6

，∠TPR=

π

3

，RT=2QS=1200V（m），
于是PR=RT•cot

π

3

=400

3

V(m)．
在△PQR中由余弦定理得：QR=

PQ2+PR2-2PQ•PRcos∠QPR

=200

3

(m)．
因为PR2=(400

3

V)2=(600V)2+(200

3

V)2=PQ2+QR2，所以∠PQR=

π

2

，
即风向为正南风．
因为气球从S点到T点经历10分钟，即600s，
所以风速为

|QR|

600

=

3 V

3

（m/s）．
答：风向为正南风，风速为

3 V

3

m/s．

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是找到PR，PQ和QR三边之间的关系．