Question

已知数列{a_n}(n∈N^*),满足a₁=1,a₂=2,a₃=3,a₄=4,a₅=5.当n≥5时，a_n+1=a₁a₂…a_n-1.若数列{b_n}(n∈N^*)满足b_n=a₁a₂…a_n-a₁²-a₂²-…-a_n².

(1)求b₅;

(2)求证：当n≥5时，b_n+1-b_n=-1;

(3)求证：仅存在两个正整数m，使得a₁a₂…a_m=a₁²+a₂²+…+a_m².

Answer 1

(1)解析:b₅=1×2×3×4×5-1²-2²-3²-4²-5²=65.

(2)证明：b_n+1=a₁a₂…a_na_n+1-a₁²-a₂²-…-a_n²-a_n+1²

=a₁a₂…a_n（a₁a₂…a_n-1）-a₁²-a₂²-…-a²_n-(a₁a₂…a_n-1)²

=a₁a₂…a_n-a₁²-a₂²-…-a_n²-1

=b_n-1(n≥5),

∴b_n+1-b_n=-1(n≥5).

(3)证明：易算出b₁=0,b₂≠0,b₃≠0,b₄≠0,

当n≥5时，b_n+1=b_n-1,这表明{b_n}从第5项开始，构成一个以b₅=65为首项，公差为-1的等差数列.

由b_m=b₅+(m-5)×(-1)=65-m+5=0,解出m=70.

因此，满足a₁a₂…a_m=a₁²+a₂²+…+a_m²的正整数只有两个：

m=70或m=1.